大樣本下的杜賓-沃森檢驗革新：用Z檢驗替代傳統查表法

趨勢解析師 7月 03, 2025
大樣本下的杜賓-沃森檢驗革新：用Z檢驗替代傳統查表法

大樣本下的杜賓-沃森檢驗革新：用Z檢定替代傳統查表法

作者：Mei-Yu Lee
杜賓-沃森檢定(Durbin-Watson test) 大樣本理論 Z檢定 自由度 中央極限定理
論文截圖
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研究背景與痛點

杜賓-沃森（Durbin-Watson）檢定是檢測時間序列數據序列相關性的經典方法，但傳統方法依賴預先計算的臨界值表（如Savin and White, 1977），存在兩大問題：

  • 臨界值有界性：DW檢定表給出固定範圍值，而非基於真實分布（如\(Z/t/χ²\)分布），違反假設檢定的理論基礎。
  • 小樣本局限：傳統認為DW檢定僅適用於小樣本，對「大樣本」的界定模糊（如Lee, 2014b指出LM檢定需\(>1000\)樣本）。

關鍵問題

DW統計量的真實抽樣分布未知，且其計算依賴迴歸殘差，受模型設定限制（Lee, 2014a）。

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核心發現：DW統計量的大樣本性質

通過大規模電腦模擬（\(32,768×2×1024\)次重複計算），作者驗證以下結論：

1. DW統計量的期望值與變異數

  • 期望值\(E(DW)\)恆為2：在無序列相關的虛無假設下，無論樣本大小，DW統計量的均值穩定趨近於\(2\)（表2）。
  • 變異數 - \(Var(DW)\) - 與自由度相關：

當 自由度 - \(df = T−k−1 > 200\) 時：

$$\text{Var(DW)} \approx \frac{4}{df}$$

當 \(df ≤ 200\) 時：

$$\text{Var(DW)} \approx 0.0027 + \frac{3.1188}{df}$$

自由度定義

\(T\)為樣本數，\(k\)為自變量個數。

2. 大樣本下服從常態分布

  • 當 樣本量(\(T ≥ 200\)) 時，DW統計量的抽樣分布收斂於常態分布（中央極限定理）。
  • 偏態\(γ₁(DW)≈0\)、峰態\(γ₂(DW)≈2.7\)（圖1），符合常態分布特徵。

3. 自變量與自由度的影響

  • 小樣本（\(df\)小）：自變量的取值會顯著干擾DW統計量分布（圖1）。
  • 大樣本（\(df ≥ 50\)）：干擾消失，分布穩定性增強（圖2）。
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實踐應用：DW檢定的Z檢定公式

基於上述結論，作者提出 Z檢定替代傳統DW查表法，適用條件為 \(df ≥ 50\)：

假設檢定類型 Z統計量公式 拒絕域
雙尾檢定 \(H₁: ρ ≠ 0\) $$ Z = \frac{2 - \text{DW}}{\sqrt{\text{Var(DW)}}} $$ \(\|Z\| > Z_{α/2}\)
左尾檢定 \(H₁: ρ < 0\) 同上 \( Z < -Z_{α} \)
右尾檢定 \(H₁: ρ > 0\) 同上 \(Z > Z_{α}\)

重要限制

  • \(df\) 小於 50 時：Z檢定可能失效，建議以模擬方式處理。
  • \(df\) 小於 30 時：必須基於具體案例計算臨界值。
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模擬實驗設計

1. 數據生成

  • 設定線性迴歸模型：$$ Y = X B + \varepsilon $$（誤差項ε獨立同分布）。
  • 自變量 \(X\) 取值固定，係數 \(β\) 全設為\(0\)（消除參數估計干擾）。

2. 重複計算

  • 生成殘差 → 計算DW統計量
  • 重複 \(2^{16} = 65,536\) 次。

3. 統計量提取

  • 從抽樣分布中計算 \(E(DW)\) 、 \( Var(DW)\) 、偏態、峰態。
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研究價值總結

理論突破

首次建立DW統計量變異數與自由度的數學關係，解決傳統臨界值表的理論缺陷。

應用革新

\(df ≥ 50\) 時，Z檢定提供更簡便、標準化的序列相關性檢測工具。

實用建議

  • 大樣本（ \(df ≥ 200\) ）：直接使用 $$ \text{Var(DW)} = 4/df $$
  • 簡單迴歸模型：DW檢定在 \(df ≥ 15\) 時已表現優異（表2 Case 4）。

論文原文

Lee, M-Y. (2016). Int. J. Computational Economics and Econometrics, 6(1), 114–121.

結語

這項研究將杜賓-沃森檢定從「查表時代」推進到「公式化時代」，為計量經濟學提供了更嚴謹的大樣本理論支持。下次當您的迴歸分析自由度超過50時，不妨嘗試直接用Z檢驗取代傳統查表法！

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