當指數成為信仰：經濟、金融與 AI 共同崇拜的幽靈
指數的誘惑
經濟學與金融學教科書裡，成長率、複利、折現因子、布萊克–休斯選擇權定價模型，無一不帶著 e^x 的影子。指數函數的優雅在於：
持續比例成長
把「持續比例成長」濃縮成一條光滑曲線
未來價值決定
讓未來價值可以用今天的單一參數 λ 決定
封閉解
提供了封閉解（closed-form），分析師不必真的跑模擬
危險特徵：「爆炸斜率」
只要 λ 稍被高估 1%，三十年後的預測值就能翻一倍；λ 稍被低估 1%，模型立刻宣告「世界末日」。指數函數是數學上最不穩定的基底之一：它的導數仍是指數，誤差也以指數擴散。
金融市場的「指數幻覺」
2008 年次貸危機前夕，高斯連結債券（CDO）的定價核心正是「指數型違約強度」。銀行把歷史違約率 λ 估成常數，假設未來也會以 e^{λt} 的節奏累積損失。
歷史資料顯示 λ 很小，於是尾部風險被壓縮到 10^{-n} 的級距。結果 λ 在短時間內被市場情緒重估，指數的尾巴瞬間變成巨獸。
AI 的泰勒遮羞布
今日的人工智慧，尤其是深度學習，表面上看已擺脫「指數」兩字：
神經元函數
使用 ReLU、GELU、Swish 等分段線性或飽和函數
損失函數
是平均、加總
反向傳播
是一連串矩陣乘法與加法
泰勒級數本質
任何解析度夠高的非線性，都可寫成泰勒級數：f(x)=Σ a_n x^n → e^x = Σ x^n/n!。AI 只是把「指數」切成無窮多個加權單項式，再用海量參數去擬合。
指數的不穩定性沒有消失，只是被「高維度」稀釋、被「隨機梯度下降」遮掩。一旦資料分布飄移（distribution shift），那些高階項的係數就會把誤差指數級放大；而人類無法像檢視 λ 一樣，直接「看見」百萬維參數的敏感度。
為什麼我們戒不掉指數？
敘事效率
指數成長的故事簡潔有力，符合人類對「奇點」的直覺
監管套利
指數折現讓長期負債顯得便宜，企業與政府都樂見其成
技術惰性
從 CPU 的摩爾定律到 AI 的 Scaling Law，指數定律成了自我實現的預言
如何與幽靈共處
強制壓力測試
把 λ 或高階泰勒係數上下震盪 10 倍，觀察模型輸出是否「爆炸」
使用次指數或冪律替代
例如用數據直接測定分布，取代指數違約模型，讓分布更誠實
引入「可解釋參數」
限制網路結構，真實讓數據關聯模型反映經濟意義，避免百萬維的數據結構黑洞
建立「指數稅」
對使用指數折現的金融商品課徵額外保證金，把尾部風險內生化
尾聲
指數函數像一盞霓虹燈，照亮了經濟與金融的夜空，卻也讓人看不清燈管後面的高壓電。AI 只是把這盞燈拆成數百萬顆 LED，閃爍得更細緻，卻不一定更安全。
或許，我們需要的不是更亮的指數，而是學會在黑暗中走路。
